1000人に1人しか解けない「8+11＝？」わかるかな？
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この問題となる演算子「+」は、日常的な加算記号とは異なる演算が定義されているようなので、ここでは「➕」と表記することにする。
この演算子における代数構造を考えると、少なくとも（恐らく十進数の）有理数→有理数という写像と推測され（必ずしもそうとは定義されていない）、一つの演算子による二項演算に関して閉じている（演算結果も有理数）、いわゆる「亜群（マグマ）」と推測できる。つまり、
単位律（x➕0=xまたは0➕x=xとなる0が存在するか）
結合律（例えばx➕y➕zが定義できるか）
可逆律（x➕(-x)=0となる(-x)が存在するか）
可換律（x➕y=y➕xとなるか）
などの法則は必ずしも満たす必要はない。
一般に、二つの被演算子に作用する演算子は二項演算子と呼ばれ、2引数関数と同値なので、
x➕y=f(x, y)
と書くことができる（ここでもx, yは可換とは限らない）。
すると、問題は、
f(1, 4) = 5
f(2, 5) = 12
f(3, 6) = 21
という2引数関数があるとき、
f(8, 11) の値を求めるという問題に置き換わる。
これは明らかに不定形なので、答えは定まらず無限にある。
そこでf(x,y)を最も次数の低い有理数係数の多項式で表現してみる。
条件なのかわからないが、問題の(x, y)の組み合わせは全てy=x+3の関係にあり、引数にはこの条件が課されると推測できる。するとfはxのみの関数f(x)となる。
f(1) = 5
f(2) = 12
f(3) = 21
条件式は3つなので多項式の自由度は3。
これを満たす最も次数の低い多項式は2次式f(x)=ax^2+bx+cの形で、
f(x) = x^2+4x =x(x+4)
である。
従って、
8➕11 = f(8) = 8×12 = 96
これが一番簡単な解。
次に次数が低く形が定まるのは、f(x) = ax^3+bx+cの形で、その解は、
f(x) = (x^3+35x-6)/6
なので、8➕11 = f(8) = 131
となる。
次に次数が低く形が定まるのは、f(x) = ax^3+bx^2+cの形で、その解は、
f(x) = (-4x^3+35x^2+24)/11
となり、8➕11 = f(8) = 216/11
と続いていく。違う？解法になりました
1×（4＋1）＝5
2×（5＋1）＝12
3×（6＋1）＝21
8×（11＋1）＝96
なんと大場様が説明をしている！
頭の中でモヤっと考えた私とは天地の開きですね。
