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中学受験やってるとこういうのかんたんだよね
円の公式の求め方、懐かしい…細かい図形に変えていって、それを∞に飛ばす。理解できた時に「すげー!」と思ったことが懐かしい。ちなみに記事にある図形から考えると、上底と下底を足すと2πr(=円周)となる。ビジュアルで捉えられると、色々つながりが見えてくる!
楽しく記事を拝読したのですが,竹内亮さんと同じポイントが少し気になりました.たぶん,この記事をサラっと読んだであろう多くの方が,本文の式(2)は「やさしく分からない」でしょう.(分かった気になって読み飛ばしている方が大半だと推測します)

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一方、内接正多角形の周囲の長さは円周より短いことから、
 |内接正2n角形| < πr^2 …(2)
はやさしく分かる。
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で,そのきちんとした説明は竹内さんの補足であっていると思います.他の箇所はかなり丁寧に解説されているのに,なぜここだけはしょったのかが少し気になりました.とは言え,全体としては知的好奇心をくすぐる素晴らしい記事だと思います.
ピタゴラスの定理の証明でサテンで時間がつぶせます。
ぱっと思い出したのは"円を扇形に切って並べ直して…"でしたが…
厳密性を求めると途端に説明が難しくなりますよね。
ただ厳密性があるからこそ経済学のように不毛な議論にならない点が数学の良さで面白いところでもあります。
サージ・ラング式に、半径1の円の面積をπと定義して、円周が2πであると示すってのが、難しい極限使わないからスマートだと思う。
背理法を使うのは冗長でしょー。円に内接する多角形が円になる時点で、終わってる。